ALBC-2-Verschlüsselung

Ein Spezialfall der ALBC-k-Verschlüsselung, eine Blockchiffre.

Verschlüsselung

• Alphabet: Großbuchstaben, identifiziert mit den Zahlen $0\dots 25$.

• Schlüssel: $K$ ist ein $6$-Tuple $K=(k_1,k_2,k_3,k_4,k_5,k_6)$ mit $k$ aus $0\dots 25$ und die ggT-Bedingung gilt.

• Verschlüsselungsfunktion ist für den Block $\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)$ gegeben als

  $$f_k(\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right))=\left(\begin{array}{cc}{k}_1& k_2\\ k_4& k_5\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{k}_3\\ k_6\end{array}\right)\mathrm{mod}(26)$$

  Verfahren:

1. Der Klartext wird in $n$ Blöcke der Länge $2$ aufgeteilt. Der Text ist also $x_1{y}_1,x_2{y}_2\dots$
2. Der Chiffretext entsteht dann durch ${\tilde{x}}_i=k_1{x}_i+k_2{y}_i+k_3\mathrm{mod}N,{\tilde{y}}_i=k_4{x}_i+k_5{y}_i+k_6\mathrm{mod}N$

Entschlüsselung

Verfahren:

1. Finde ein $d$, sodass die ggT-Bedingung $d\left(k_1{k}_5-k_2{k}_4\right)\mathrm{mod}26=1$ erfüllt ist
2. Berechne den inversen Schlüssel mit $\begin{array}{rl}{\ell }_1& =d{k}_5\mathrm{mod}26=75\mathrm{mod}26=23\\ {\ell }_2& =\left(-d{k}_2\right)\mathrm{mod}26=(-40)\mathrm{mod}26=12\\ {\ell }_3& =d\left(k_2{k}_6-k_3{k}_5\right)\mathrm{mod}26=(-715)\mathrm{mod}26=13\\ {\ell }_4& =\left(-d{k}_4\right)\mathrm{mod}26=(-115)\mathrm{mod}26=15\\ {\ell }_5& =d{k}_1\mathrm{mod}26=25\mathrm{mod}26=25\\ {\ell }_6& =d\left(k_3{k}_4-k_1{k}_6\right)\mathrm{mod}26=1605\mathrm{mod}26=19\end{array}$
3. Der Klartext wird in $n$ Blöcke der Länge $2$ aufgeteilt. Der Text ist also $x_1{y}_1,x_2{y}_2\dots$
4. Entschlüsselung durch $x_i={\ell }_1{\tilde{x}}_i+{\ell }_2{\tilde{y}}_i+{\ell }_3\mathrm{mod}26,y_i={\ell }_4{\tilde{x}}_i+{\ell }_5{\tilde{y}}_i+{\ell }_6\mathrm{mod}26.$

Die Anzahl der möglichen Schlüssel ist $N^6$, nach ausfiltern mit der ggT-Bedingung sind es nur noch $\left\{\left(k_1,k_2,k_3,k_4,k_5,k_6\right):0\le k_i\le N-1,\mathrm{ggT}\left(N,k_1{k}_5-k_2{k}_4\right)=1\right\}$

mit $N^6\prod \_p\mid N\left(1-\frac{1}{p}\right)\left(1-\frac{1}{p^2}\right)=106299648$

ALBC-2 ist unsicher

Wenn Teile des Klartexts erraten werden kann man den inversen Schlüssel durch dieses LGS lösen:

$$\begin{array}{ll}{x}_1\equiv {\ell }_1{\tilde{x}}_1+{\ell }_2{\tilde{y}}_1+{\ell }_3\mathrm{mod}26,& y_1\equiv {\ell }_4{\tilde{x}}_1+{\ell }_5{\tilde{y}}_1+{\ell }_6\mathrm{mod}26,\\ x_2\equiv {\ell }_1{\tilde{x}}_2+{\ell }_2{\tilde{y}}_2+{\ell }_3\mathrm{mod}26,& y_2\equiv {\ell }_4{\tilde{x}}_2+{\ell }_5{\tilde{y}}_2+{\ell }_6\mathrm{mod}26,\\ x_3\equiv {\ell }_1{\tilde{x}}_3+{\ell }_2{\tilde{y}}_3+{\ell }_3\mathrm{mod}26,& y_3\equiv {\ell }_4{\tilde{x}}_3+{\ell }_5{\tilde{y}}_3+{\ell }_6\mathrm{mod}26\end{array}$$