Singular Value Decomposition

Singular Value Decomposition (SVD)

Singular Value Decompositions exist for every matrix, even for non-quadratic matrices and is more efficien than normal eigenvalue decomposition. It is defined like this: $M=U\Sigma V^{\ast }$ Where $U$ is a unitary matrix, $V^{\ast }$ is an adjoint matrix and $\Sigma$ is a diagonal matrix with the singular values on its diagonal. The singular values squared are the eigenvalues of the matrix $M$.

Berechnung

Man kann die SVD mit zwei Methoden ausrechnen, bei beiden muss man mehr oder weniger die gleichen Sachen auf eine Matrix anwenden:

1. $A{A}^T$
2. $A^{T}A$

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1. Charakteristisches Polynom bestimmen
2. Eigenwerte berechnen
3. Eigenvektoren zu den Eigenwerten berechnen
   1. Normalisieren
   2. Orthogonalisieren
4. U oder V bestimmen
5. Sigma bestimmen