Lineare Approximation per Satz von Taylor

Gegeben sei eine stetige Funktion $f$, die einmal differenzierbar ist auf einer nichtleeren, offenen und konvexen Menge, dann gilt an der Entwicklungsstelle $x_0$:

$f(x)=f\left(x_0\right)+\nabla f{\left(x_0\right)}^{\top }\left(x-x_0\right)+o\left(\Vert x-x_0\Vert \right)$ Das Restglied wächst nur höchstens so schnell wie der Abstand von der Entwicklungsstelle zur approximierten Stelle.

”Gestaltenwandler”

$o\left(\Vert x-x_0\Vert \right)=\nabla f(\xi {)}^{\top }\left(x-x_0\right)-\nabla f{\left(x_0\right)}^{\top }\left(x-x_0\right)$ wobei: $\xi :=(1-\theta )x_0+\theta x$

$f(x)=f\left(x_0\right)+\nabla f(\xi {)}^{\top }\left(x-x_0\right)$ → Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Für $x\leftarrow x_0+p$ mit $p$ hinreichen klein $f\left(x_0\right)+\nabla f{\left(x_0+\theta p\right)}^{\top }p$

$f\left(x_0+p\right)=f\left(x_0\right)+\nabla f\left(x_0\right)p+o(\Vert p\Vert )$