Pooling-Problem

Ähnlich wie Min-Cost-Flow-Problem (Graphen Theorie).

Zielfunktion ist die Minimierung der Kosten. Also die Beschaffungskosten (Summe der Kosten für die Rohstoffe entlang des Flusses von Rohstoff zu Pool) minus die Verkaufserträge (Summe der Verkaufspreise der Produkte aus den Pools und Summe der Verkaufspreise der Rohstoffe minus deren Kosten).

$$\begin{array}{cc}{\min }_{p,x,y,z}\underset{\text{Beschaffungskosten }}{\underbrace{\sum _{i=1}^I{c}_i\sum _{\ell =1}^L{x}_{i\ell }}}\underset{\text{Verkaufsertra¨ge }}{\underbrace{-\sum _{j=1}^J{d}_j\sum _{\ell =1}^L{y}_{\ell j}-\sum _{i=1}^I\sum _{j=1}^J\left(d_j-c_i\right)z_{ij}}}& \\ \text{ s.t. }{\sum }_{\ell =1}^L{x}_{i\ell }+{\sum }_{j=1}^J{z}_{ij}\le A_i& i=1,\dots ,I\\ {\sum }_{i=1}^I{x}_{i\ell }-{\sum }_{j=1}^J{y}_{\ell j}=0& \ell =1,\dots ,L\\ {\sum }_{i=1}^I{x}_{i\ell }\le S_{\ell }& \ell =1,\dots ,L\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}& \sum _{\ell =1}^L{y}_{\ell j}+\sum _{i=1}^I{z}_{ij}\le D_j\\ & \sum _{\ell =1}^L\left(p_{\ell k}-P_{jk}^U\right)y_{\ell j}+\sum _{i=1}^I\left(C_{ik}-P_{jk}^U\right)z_{ij}\le 0j=1,\dots ,J;k=1,\dots ,K\\ & \sum _{i=1}^I{C}_{ik}{x}_{i\ell }-p_{\ell k}\sum _{j=1}^J{y}_{\ell j}=0\\ & x_{i\ell }\ge 0,y_{\ell j}\ge 0,z_{ij}\ge 0,p_{\ell k}\ge 0\end{array}$$

Nebenbedingung 1: Der gesamte Fluss an Rohstoffen muss kleiner gleich der verfügbaren Menge an Rohstoffen sein.

Nebenbedingung 2: Flusserhaltungsbedingung

Nebenbedingung 3: Kapazitätsbedingung

Nebenbedingung 4: Fluss an Produkten und Rohstoffen muss kleiner gleich dem Bedarf sein.

Nebenbedingung 5: Eigenschaften des Gemisches und Eigenschaften der Rohstoffe müssen kleiner gleich der Oberen Schranke der Eigenschaft sein.

Nebenbedingung 6: Eigenschaftserhaltung

Nebenbedingung 7: Fluss darf nicht negativ sein und die Eigenschaften des Gemisches müssen positiv sein.

Allgemeine Darstellung des Problems