Lagrange-Newton-Verfahren

Kann zur Lösung restringierter Probleme verwendet werden, die nur Gleichungsnebenbedingungen haben.

Außerdem müssen die ZF und die Gleichungsnebenbedingungen zweimal stetig differenzierbar sein.

Die KKT Bedingungen degenieren dann zu:

$\nabla \mathcal{L}(x,\lambda )=0$ $h(x)=0$

Dieses Gleichungssystem kann mit dem Newton Verfahren gelöst werden.

Dafür setzen wir:

$$R(x,\lambda )=\left(\begin{array}{c}{\nabla }_{x}L(x,\lambda )\\ h(x)\end{array}\right),J_R(x,\lambda )=\left(\begin{array}{cc}{\nabla }_{xx}^{2}L(x,\lambda )& J_h(x{)}^T\\ J_h(x)& 0\end{array}\right)$$

und lösen dann:

$J_R(x,\lambda )d=-R(x,\lambda )$

Den neuen Punkt dieser Iterationsfolge erhält man mit $(x,\lambda )+d$ .

$d=\frac{J_R(x,\lambda )}{-R(x,\lambda )}$

Diese Iterationsfolge konvergiert gegen einen KKT Punkt. Wenn also $f$ konvex ist und alle Nebenbedingungen affin-linear, dann ist dieser Punkt das Optimum.