Näherungsbruch

Ist $[a_0,a_1,\dots ]$ die Kettenbruchentwicklung einer reellen Zahl $\alpha$, so heißt $[a_0,\dots ,a_n]$ der n-te Näherungsbruch.

Sei die Kettenbruchentwicklung gegeben, dann kann man den Näherungsbruch mit folgenden rekursiven Regeln berechnen:

$$\begin{array}{llll}{p}_{-2}=0,& p_{-1}=1,& p_n=a_n{p}_{n-1}+p_{n-2}& \text{ fu¨r }n\ge 0,\\ q_{-2}=1,& q_{-1}=0,& q_n=a_n{q}_{n-1}+q_{n-2}& \text{ fu¨r }n\ge 0\end{array}$$

Es gilt dann $\left[a_0,a_1,\dots ,a_n\right]=\frac{p_n}{q_n}.$