Lipschitz-stetig

Eine Abbildung ist lipschitz-stetig wenn sie Hölder-stetig ist mit $\alpha =1$.

Also eine Abbildung ist es, wenn ein $L\ge 0$ existiert mit $d_Y(f(x),f(y))\le L{d}_x(x,y)$ für alle $x,y$.

Wenn $L>0$ ist, ist die Abbildung auch stetig.

Beweis, dass eine lipschitz-stetige Abbildung auch stetig ist: Man wählt $ϵ>0$ und $\delta =\frac{ϵ}{L}$ mit $\delta >d_X(x,y)$, dann lässt sich das Kriterium mit $ϵ$ abschätzen.

Man spricht von einer Kontraktion wenn $L<1$ ist.

Beschränktheit der Ableitung

Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung liefert einen systematischen Ansatz zum beweisen der Lipschitz-stetigkeit einer Abbildung. Wenn man die Beschränktheit der Ableitung zeigen kann, dann ist die Abbildung selbst lipschitz-stetig. Wenn zusätzlich gilt, dass die Ableitung absolut gesehen immer kleiner als $L$ ist, dann ist sie eine Kontraktion.

Etwas ähnliches kann wohl auch mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gezeigt werden.

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