Fixpunktsatz von Banach

Voraussezungen:

• Es sei $(X,d_X)$ ein vollständiger Banachraum
• → jede Cauchy-Folge mit Elementen des Raums konvergiert im Raum
• Es sei $A$ Teilmenge von $X$ abgeschlossen bezüglich $d_X$
• $A$ soll nicht leer sein
• eine Selbstabbildung $\varphi$ von $A$ nach $A$ (kontrahierend)
• Lipschitz-stetig mit einer Konstante kleiner 1 und größer gleich 0 (Kontraktion)

Es gilt

• $\varphi$ besitzt genau einen Fixpunkt
• also gilt \begin{equation} \phi(\bar{x})=\bar{x}\end{equation}

Das Iterationsverfahren: $x^{(0)}$ $x^{(k+1)}=\varphi (x^{(k)})$ konvergiert für jeden Startpunkt gegen den Fixpunkt.

Beweisskizze

Es müssen folgende Aussagen nacheinander gezeigt werden:

1. Die Iterationsfolge ist eine Cauchy-Folge
2. Der Grenzwert dieser Folge ist ein Fixpunkt
3. Es existiert nur genau eine Fixpunkt

Zuerst zeigen wir, dass die Iterationsfolge eine Cauchy-Folge ist, denn mit der Voraussetzung eines vollständigen Banachraums wissen wir, dass die Folge dann im Raum konvergiert. Danach muss noch gezeigt werden, dass der Grenzwert dieser Folge ein Fixpunkt ist. Zuletzt beweisen wir, dass nur genau ein Fixpunkt existiert.

Vergleich

Auch das Newton Verfahren kann verwendet werden um Fixpunkte zu berechnen. Es konvergiert noch schneller.