Gaußsche Glockenkurve

$f(x)=\exp (x^2)$

Um den Fixpunktsatz von Banach anwenden zu können muss die Funktion eine kontrahierende Selbstabbildung sein.

Um zu zeigen, dass es sich um eine Kontraktion handelt weisen wir nach, dass die Ableitung durch 1 beschränkt ist.

Wir berechnen also die 1., 2. und 3. Ableitung um die Maxima und Minima der Ableitung berechnen zu können.

Da die Beträge der Funktionswerte der Maxima und Minima kleiner als 1 sind handelt es sich um eine kontrahierende Abbildung auf ganz $\mathbb{R}$. Da $\mathbb{R}$ nicht leer ist und abgeschlossen bezüglich des Betrags ist und $f$ eine Selbstabbildung ist gelten alle Voraussetzungen.

Wir wenden also den Fixpunktsatz von Banach an und erhalten als Fixpunkt näherungsweise $0.65$ .