Induzierte Matrixnorm

Die induzierte Matrixnorm mit $A$ quadratisch ist $||A||:=\max ||Ax||$ mit $||x||=1$ durch die Norm des Vektorraum induziert.

Es gilt: $\Vert A\Vert ={\max }_{\Vert x\Vert =1}\Vert Ax\Vert ={\max }_{x\ne 0}\Vert A\frac{x}{\Vert x\Vert }\Vert ={\max }_{x\ne 0}\frac{\Vert Ax\Vert }{\Vert x\Vert }$

→ lnsexam diese Form kann wichtig für Beweise sein.

Beispiel

Induzierte Matrixnorm 2022-07-10 18.16.28.excalidraw

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0773563dbe7020669d5f22b66c6166bcbfdf9529: $||x||=1$ 9d1769259973c5b0e2e1f496d42d238cd5bfb8c6: $||Ax||$ 4fd36ac40f543794e09f48d68cac998b0feb0ceb: $\max ||Ax||$

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Eigenschaften

Induzierte Matrixnormen sind wegen den folgenden Eigenschaften besonders interessant und nützlich:

Verträglichkeit mit der Vektornorm: $||Ax||\le ||A||\cdot ||x||$

und Submultiplikativität: $||AB||\le ||A||\cdot ||B||$ und Spektralradius $\rho (A)\le ||A||$

Beispiele

• Spektralnorm

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• Maximumsnorm