Das Gesamtschrittverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme
Um ein Lineares Gleichungssystem mit dem Jacobi-Verfahren lösen zu können muss es zuerst in die Fixpunktform gebracht werden.
Lösen von linearen Gleichungssystemen der Form .
Wir verwenden die Maximumsnorm um die Lipschitz-Konstante der Fixpunktform abzuschätzen.
Das Konvergenzverhalten eines Iterationsverfahren hängt unter anderem von den Eigenwerten der Iterationsmatrix ab. Das Spektrum und der dazugehörige Spektralradius spielen dabei also eine zentrale Rolle.
Das Iterationsverfahren für ein LGS in Fixpunktform konvergiert genau dann für jeden beliebigen Startvektor gegen die Lösung, wenn der Spektralradius der Matrix kleiner als 1 ist. Um den Spektralradius abschätzen zu können kann man eine Induzierte Matrixnorm verwenden, denn für jede dieser Normen gilt, dass ist. Diese Abschätzung kann zum Beispiel mit der von der Maximumsnorm induzierten Matrixnorm, der Zeilensummennorm einfach gemacht werden.
Aus dem Fixpunktsatz von Banach folgt dann, wenn die Zeilensummennorm von kleiner als 1 ist, dass das LGS in Fixpunktform für jedes eine eindeutige Lösung hat und das Iterationsverfahren für jeden Startvektor gegen diese Lösung kovergiert.
Durch Umwandlung LGS in Fixpunktform lässt sich das Jacobi-Verfahren nun durchführen. Das Zeilensummenkriterium bietet eine einfache Möglichkeit das Konvergenzverhalten des Jacobi-Verfahren schon vorher durch die Matrix zu bestimmen ohne die Umformung in Fixpunktform vonehmen zu müssen.