Umwandlung LGS in Fixpunktform

LGS → Fixpunktform

$Ax=b$ mit $A$ quadratisch

Dann lässt sich $A$ darstellen als $A=L+D+U$ wobei $D$ die Diagonale und $L,U$ jeweils das linke untere beziehungsweise rechte obere Dreieck von $A$ sind. Wenn $A$ regulär ist so lässt sich $D$ invertieren. Beweis: Permutationsmatrix → alle Diagonalelemente rekursiv auf Nicht-Null Einträge bringen.

$(L+D+U)x=b$ $Dx=-(L+U)x+b$ $x=-D^{-1}(L+U)x+D^{-1}b$ die Iterationsmatrix ist hier $T_G=-D^{-1}(L+U)$