Hypergeometrische Verteilung

• Urnenmodell
• $M\le N$ markierte Kugeln
• ziehen $n\le N$ Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Reihenfolge
• $A_k:=$ Unter den gezogenen Kugeln befinden sich genau $k$ markierte Kugeln
• $k\le \min (n,M)$
• Laplace-Experiment Gleichverteilung
• Grundraum sind alle Teilmengen mit der Kardinalität $n$
• Die Karidnalität vom Grundraum ist $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{n}\right)$ Binomialkoeffizient
• Möglichkeiten $k$ markierte Kugeln zu ziehen: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{M}{k}\right)$
• Möglichkeiten $n-k$ unmarkierte Kugeln zu ziehen: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N-M}{n-k}\right)$

$h(k;n,N,M):=P(A_k)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{M}{k}\right)\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N-M}{n-k}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{n}\right)}$ $Hy{p}_{m,N,M}$

Die hypergeometrische Verteilung hat viele Anwendungen. Im asymptotischen Regime großer Gesamtheiten (also wenn $N$ gegen unendlich geht) steht sie mit der Binomialverteilung in Verbindung. Bei sehr großem $N$ spielt es eigentlich keine Rolle mehr ob man die Kugeln zurück in die Urne legt oder nicht. Die Wahrscheinlichkeit für eine markierte Kugel ist immer in etwa $\frac{N}{M}$

Beweis, dass $h()$ im unendlichen die Binomialverteilung ist