MOC - Stochastische Modellbildung
Info
Eine kurze Zusammenfassung von allem, was in StochMod besprochen wurde.
In Ziele und Annahmen StochMod wurde festgelegt, dass der Zufall auch regelmäßig sein kann und man ihn daher gut in einem mathematischen Modell darstellen kann.
Mathematische Beschreibung
Der Grundraum bildet die Menge unserer Elementarereignis, also alle Ereignis, die bei einer einfachen Durchführung des Experiments auftreten können. Will man allerdings auch komplexere Ereignisse darstellen braucht man einen Ereignisraum. Meistens definiert man sich einen solchen Raum durch eine Sigma Algebra, welche in diskreten Wahrscheinlichkeitsräumen meistens die Potenzmenge des Grundraums und in reelen Wahrscheinlichkeitsräumen meistens die Menge aller Intervalle ist. Sie besitzt auch viele hilfreiche Eigenschaften wie die Sigma-Additivität.
Der Grundraum, die Sigma-Algebra und das Wahrscheinlichkeitsmaß bilden zusammen einen Wahrscheinlichkeitsraum mit dem man ab sofort Wahrscheinlichkeiten von verschiedenen Ereignissen auf diesem Raum berechnen kann.
Ein Beispiel dafür ist der Bernoulli-Raum mit der Bernoulli-Verteilung.
Eine Verteilung lässt sich manchmal auch durch die Relative Häufigkeit bestimmen.
Die Bedingte Wahrscheinlichkeit benutzt man um Wahrscheinlichkeiten darzustellen, die sich ändern, wenn vorher eine Bedingung bekannt ist. Eine solche Wahrscheinlichkeit lässt sich mit der Bayes Formel berechnen. Oft ist der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit hier wichtig, da man mit ihm eine unbekannte Wahrscheinlichkeit durch die bedingten Wahrscheinlichkeiten ausrechnen kann. Zusammengefasst wird dann alles im Satz von Bayes.
Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit des gemeinsamen Ereignises gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeit der einzelnen Ereignisse ist.
Möchte man ein Experiment mehr als einmal durchführen nutzt man die Zusammenführung mehrerer Wahrscheinlichkeitsräume um einen großen Wahrscheinlichkeitsraum aufzustellen.
Zufallsvariable
Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume
Verteilungen
Hier eine Liste an wichtigen Verteilungen.
- Gleichverteilung
- Exponentialverteilung
- Dirac-Verteilung
- Normalverteilung
- Hypergeometrische Verteilung
- Multinomialverteilung
- Poisson Verteilung
- Geometrische Verteilung
- Gedächtnislose Verteilung
- Negative Binomialverteilung
- Binomialverteilung
- Bernoulli-Verteilung
Reele Wahrscheinlichkeitsräume
Reelle Wahrscheinlichkeitsräume Wahrscheinlichkeitsdichte Verteilungsfunktion
Kenngrößen von Verteilungen und Zufallsvariablen
Oft ist man bei Experimenten vor allem an Kenngrößen von Verteilungen und Zufallsvariablen interessiert, da sie angeben welche Ergebnisse typischerweise zu erwarten sind.
Der Modalwert gibt mehr oder weniger den Wert an, der am meisten vorkommt.
Mit dem Erwartungswert, der den erwarteten Wert einer Zufallsvariable angibt lässt sich deren Streuung, also die Varianz und Standardabweichung berechnen.
Die Kovarianz lässt sich aus den Erwartungswerten von zwei Zufallsvariablen berechnen. Zusammen mit der Varianz lässt sich dann die Korrelation bestimmen, welche angibt wie und wie stark sich zwei Zufallsvariablen miteinander verändern.
Summen unabhängiger Zufallsvariablen und Grenzwertsätze
Summen von Zufallsvariablen
Die Faltung und Erzeugende Funktion kann man verwenden um (zufällige) Summen von Zufallsvariablen zu berechnen.
Grenzwertsätze
Der Wahrscheinlichkeitstheorie liegt als Basis die Relative Häufigkeit zugrunde. Sie ist also ziemlich wichtig und es lohnt sich diesen Vorgang mal in der Theorie darzustellen um zu zeigen, dass unsere Intuition stimmt.
Die Relative Häufigkeit Theorie zeigt, warum die ganze Wahrscheinlichkeitstheorie überhaupt stimmt.
Mit der Ungleichung von Chebyshev lässt sich die Wahrscheinlichkeit des Fehlers zwischen Wert und Erwartungswert durch die Varianz abschätzen.
Schwaches Gesetz der großen Zahlen
Konvergenzarten und ihre Implikationen
punktweise Konvergenz, gleichmäßige Konvergenz → p-fast sichere Konvergenz → Stochastische Konvergenz → Schwache Konvergenz
Starkes Gesetz der großen Zahlen
Fluktuation Reskalierung Konvergenzordnung Kopplung
Mit einem Poisson-Prozess kann man die Anzahl an Auftritten eines Ereignisses in einem bestimmten Zeitraum bestimmen und Wahrscheinlichkeiten darauf berechnen.
Markov-Ketten
Eine Markov-Kette zusammen mit einem Zustandsraum einer Anfangsverteilung und Übergangsmatrix ist hilfreich um Wahrscheinlichkeiten in einem System mit mehreren Zuständen zu berechnen.