Multinomialverteilung

“Anzahl der Treffer bei n Versuchen”

Urnenmodell
$N$ durchnummerierte Kugeln
Jede Kugel ist mit einer aus $r$ Farben markiert
- Dafür teilt man die Kugeln in $r$ Gruppen ( $M_{r}$ ist die Anzahl der Kugeln der Farbe $r$ ) auf und gibt ihnen jeweils die Farbe
$n$ Kugeln ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge
Wahrscheinlichkeit, dass unter den gezogenen Kugeln genau $k_{i}$ Kugeln der Farbe $i$ haben

W-Raum aufstellen

Grundraum → $Ω = {1, ..., N}^{n}$ → Tupel
$∣Ω∣ = N^{n}$
Sigma Algebra → $A = P (Ω)$
Gleichverteilung mit $\frac{1}{N ^{n}}$

Um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignises zu berechnen braucht man zuerst die Kardinalität von dem Ereignis. In diesem Fall haben wir mehrere Parameter:

$k_{i}$ → Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe $i$
$M_{r}$ → Anzahl der Kugeln mit der Farbe $r$
$n$ → Anzahl der gezogenen Kugeln

Für die 1. Farbe gilt: Es gibt $(k _{1} n)$ mögliche Positionen dieser Farbe in den $n$ gezogenen Kugeln (wegen mit Beachtung der Reihenfolge). Zusätzlich können an den “ausgewählten” Positionen $M_{1}^{k_{1}}$ verschiedene Kugeln sein (wegen mit Zurücklegen).

Für die 2. Farbe gilt: Es gibt dementsprechend nur noch $(k _{2} n - k _{1})$ mögliche Positionen, da bereits $k_{1}$ Plätze belegt sind.

Für die letzte Farbe gilt: Es ist nur noch eine mögliche Position übrig.

Für die Kardinalität eines Ereignises $A_{k_{1}, ..., k_{r}}$ gilt also:

$(k _{1} n) M_{1}^{k_{1}} (k _{2} n - k _{1}) M_{2}^{k_{2}} ... (k _{r} n - k _{1} - ... - k _{r - 1}) M_{r}^{k_{r}}$

Diese Formel sieht dann zusammengefasst so aus: $\frac{n !}{k _{1} ! ... k _{r} !} M_{1}^{k_{1}} ... M_{r}^{k_{r}}$ → Der Bruch ist der sogenannte Multinomialkoeffizient

Damit folgt am Ende die Verteilung: $P (A_{k_{1}, ..., k_{r}}) = \frac{1}{N ^{n}} (k _{1} , ... , k _{r} n) M_{1}^{k_{1}} ... M_{r}^{k_{r}}$

Umgeschrieben kommt man auf eine Form, in der man nicht mehr die Anzahl der einzelnen gefärbten Kugeln angibt sondern den Anteil einer Farbe an allen Kugeln durch den Parameter $p_{r} \in [0, 1]$ :

$(k _{1} , ... , k _{r} n) (\frac{M _{1}}{N})^{k_{1}} ... (\frac{M _{r}}{N})^{k_{r}}$

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