Wahrscheinlichkeitsraum

Das Tripel aus dem Grundraum, einer Sigma Algebra und einem Wahrscheinlichkeitsmaß: $(\Omega ,\mathcal{A},P)$ heißt Wahrscheinlichkeitsraum.

Eigenschaften

1. Die Wahrscheinlichkeit, dass die leere Menge eintrifft ist 0
2. Auch für endliche Folgen an paarweise disjunkter Mengen ist die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung das gleiche wie die Summe der Wahrscheinlichkeiten
3. Die Wahrscheinlichkeit des Komplements einer Menge ist 1 minus die Wahrscheinlichkeit der Menge selbst.
4. $P(B\setminus A)=P(B)-P(A)$
5. $P(A)\le P(B)$
6. $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
7. Für jede unendliche Folge gilt, dass die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung kleiner gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten ist
8. Wenn eine Menge die Wahrscheinlichkeit 1 hat, dann ist die Wahrscheinlichkeit des Schnitts dieser Menge mit einer anderen die gleiche wie ohne den Schnitt.

Beispiel

Bernoulli-Raum

Bernoulli-Raum

Der Bernoulli-Raum besteht aus einem Wahrscheinlichkeitsraum, der durch das Tripel $(\Omega ,\mathcal{A},P)$ aufgespannt wird. Dabei ist $\Omega =\{0,1\}$ und $\mathcal{A}$ ist die Potenzmenge von $\Omega$. Die Verteilung P ist definiert durch:

• $P(\varnothing )=0$
• $P\{1\})=p$
• $P(\{0\})=1-p$
• $P(\{0,1\})=1$

mit dem Parameter $p\in [0,1]$.

Diese Verteilung nennt sich auch Bernoulli-Verteilung ($Be{r}_p$)

Was kann man damit machen?

Mit dem Bernoulliraum lassen sich einfache Zufallsexperimente modellieren. Um das zu tun weißt man den Werten 0 und 1 verschiedene Ereignisse zu (z.B. Kopf und Zahl beim Münzwurf). Bei einem solchen speziellen Experiment lässt sich aus $P(\{1\})$ direkt die ganze Verteilung ableiten (das ist aber allgemein nicht möglich). Um diese Verteilung der 1 herauszufinden braucht man die Relative Häufigkeit.

Wenn man aber a priori plausible Annahmen macht (z.B. dass die Münze oder der Würfel fair ist), dann kann man $p$ auch direkt bestimmen als $P(\{k\})=\frac{1}{|\Omega |}$. Das geht so, weil die Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Da $\Omega$ endlich ist und durch Sigma-Additivität lässt sich für $A\subset \Omega$ die Verteilung als $P(A)={\sum }_{w\in A}P(\{w\})=\frac{|A|}{|\Omega |}$ berechnen.

→ Das Modell ist nun vollständig

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