Sigma Algebra

$\sigma$-Algebra

Ein Mengensystem A Teilmenge von der Potenzmenge ist eine Sigma Algebra, wenn folgende drei Axiome zutreffen:

1. Der Grundraum ist in A enthalten
2. Wenn A im Mengensystem ist, dann ist auch das Komplement in diesem Mengensystem enthalten. → A ist komplementstabil
3. Für jede unendlich Folge an Mengen in A ist die Vereinigung dieser Mengen auch in A

Meistens ist die Sigma-Algebra gegeben durch die Potenzmenge des Grundraums. Das ist oft der Fall, wenn der Grundraum höchstens abzählbar ist. Anderenfalls könnte es passieren, dass die Sigma-Algebra zu groß wird.

Erklärung zu den Axiomen

1. Der Grundraum muss natürlich enthalten sein, denn bei einer einmaligen Durchführung eines Zufallexperiments kann jedes Elementarereignis dieses Raumes auftreten.
2. Wenn man mit Wahrscheinlichkeiten rechnet möchte man gerne auch mit dem Komplement eines Ereignises rechnen können
3. Man möchste Ereignise vereinigen oder schneiden (für und/oder Logik)