Satz von Berny-Esseen

Folge an stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen mit identischer Verteilung und zusätzlich gilt: $\delta :=E|X_1-\mu {|}^3<\infty$ . Dann existiert ein $c>0$: ${\sup }_{x\in \mathbb{R}}\left|P\left(\frac{1}{\sigma \sqrt{n}}{\sum }_{i=1}^n\left(X_k-\mu \right)\le x\right)-{\int }_{-\infty }^x\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}\cdot y^2}dy\right|\le c\frac{\delta }{{\sigma }^3\sqrt{n}}\forall n\ge 1$ Der genaue Wert von $c$ ist noch unbekannt aber man weiß heute, dass er zwischen $0,4$ und $0,48$ liegt.