stochastisch unabhängig

Stochastische Unabhängigkeit

Zwei Ereignisse heißen stochastisch unabhängig, wenn gilt:

$$\begin{array}{c}P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\end{array}$$

Eine ganze Familie an Ereignissen ist unabhängig, wenn für jede Teilmenge eines Index gilt, dass die Wahrscheinlichkeit des Schnitts der Ereignisse zu dieser Teilmenge an Indexen das Produkt der Wahrscheinlichkeiten ergibt, also:

$$\begin{array}{c}P\left(\bigcap _{i\in J}{A}_i\right)=\prod _{i\in J}P\left(A_i\right)\end{array}$$

Wenn diese Bedingung nur für $|J|=2$ gilt, dann ist die Familie paarweise stochastisch unabhängig. $\mathbb{P}\left(X_1\in I_1,\dots ,X_n\in I_n\right)=\mathbb{P}\left(X_1\in I_1\right)\cdot \dots \cdot \mathbb{P}\left(X_n\in I_n\right)$

Let there be a sequence of random variables that are independent. Then the real random variable $f(X_1,\dots ,X_k)$ is independent with the rest $X_{k+1},\dots ,X_n$.