Abstiegsrichtung

Ein Vektor $s$ heißt Abstiegsrichtung von $f$ im Punkt $x$ falls gilt: $\nabla f(x{)}^{T}s<0$ → bedeutet geometrisch in einem Winkel von mindestens 90° zum Gradient. → in Richtung entlang derer sich der Funktionswert verringert → siehe auch Richtungsableitung

Die Steigung in diese Richtung ist gegeben durch: $\nabla f(x{)}^T\frac{s}{||s||}$ Der Vektor $s$ muss also nur normalisiert werden um die Steigung berechnen zu können.

Wichtige Bemerkung

Für eine Abstiegsrichtung genügt es nicht, dass $f$ entlang $s$ abnimmt. Denn die Abnahme könnte auch allein durch negative Krümmung (Hessematrix) in diese Richtung hervorgerufen sein. besser erklären → siehe Skript seite 49