Poisson Verteilung

$\mathbb{P}(\{k\})=e^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!}$

In der Anwendung ist man oft an Wahrscheinlichkeiten bei Experimenten auf einem Bernoulli-Raum mit sehr kleinem Parameter $p$ und großem Parameter $n$ interessiert.

Anzahl an Ereignissen in einem fixen Raum.

We have ${\Vert F_{B(n,p)}-F_{Po(np)}\Vert }_{\infty }\le 2n{p}^2$

Annahmen:

• $p$ geht für großes $n$ gegen null
  • Allerdings muss $p_n$ so gewählt werden, dass es nicht zu schnell gegen null konvergiert. Das heißt es muss ein $\gamma$ geben, sodass $p_n\cdot n$ gegen $\gamma$ konvergiert.
• $k$ ist fest

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Dann lässt sich die Binomialverteilung in die folgende Form umschreiben:

$\frac{1}{k!}\frac{n(n-1)...(n-k+1)}{n^k}(n{p}_n{)}^k(1-\frac{n{p}_n}{n})(1-p_n{)}^{-k}$

Dieser Term konvergiert für großes $n$ gegen: $\frac{1}{k!}{\gamma }^k{e}^{-\gamma }$ für ein $k\in {\mathbb{N}}_0$

Für einen Parameter $\gamma \in (0,\infty )$ (dieser Wert gibt die bei einer Beobachtung erwartete Ereignishäufigkeit an → Erwartungswert) heißt die Verteilung Poisson-Verteilung und man schreibt: $Po{i}_{\gamma }$