Erwartungswert

Der Erwartungswert gibt den Wert an, der von einer Zufallsvariable am meisten erwartet wird.

Diskreter Fall

$EX:={\sum }_{x\in X(\Omega )}xP(X=x)$ Außerdem gilt: $EX={\sum }_{\omega \in \Omega }X(\omega )P(\{\omega \})$

Reeler Fall

Definition über die Verteilungsfunktion: $EX:={\int }_0^{\infty }\left(1-F_X(x)\right)dx\in [0,+\infty ]$ → Diese Definition muss für negative Werte der Zufallsvariable anders verwendet werden. Siehe Skript.

Definition über die Wahrscheinlichkeitsdichte: $EX:={\int }_{-\infty }^{\infty }y{f}_X(y)dy$ → Diese Definition funktioniert auch automatisch für Zufallsvariablen, die negativ werden können.

Eigenschaften

Für Beweise zu diesen Eigenschaften siehe S.43ff im Skript. Dabei wird auch das Prinzip der Approximation durch Summen verwendet, welches eventuell hilfreich sein kann als Beweiswerkzeug.

Monotonicity If $X(\omega )\le Y(\omega )$ , then we have $EX\le EY.$

Linearity $E(\alpha X+Y)=\alpha EX+EY$ Independence $E(XY)=(EX)(EY)$ Function Application Wenn $g:({\Omega }^{\prime },\mathcal{A})\to (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ eine messbare Abbildung ist, dann gilt: $E(g(x))={\sum }_{x\in X(\Omega )}g(x)P(X=x)$