Poisson-Prozess

Der Poisson-Prozess

Die Beschreibung der Anzahl der Ereignisse, die in einem gegebenen Intervall eintreten.

$n$ stochastisch unabhängige Zufallsvariablen (in die Borel Mengen) mit Gleichverteilung auf dem Intervall $[0,t_n]$ . Die Zufallsvariable wird als der zufällige Eintritt von einem Ereignis $i$ interpretiert.

Für $[\alpha ,\beta ]\subset [0,t_n]$ gilt:

$$\begin{array}{rl}{N}_{[\alpha ,\beta ]}^{(n)}& :=\left|\left\{i\in \{1,\dots ,n\}:X_i\in [\alpha ,\beta ]\right\}\right|\\ & =\sum _{i=1}^n{1}_{[\alpha ,\beta ]}\left(X_i\right).\end{array}$$

Dann ist $N$ eine Zufallsvariable. Die Verteilung ist eine Binomialverteilung mit $p=\frac{\beta -\alpha }{t_n}$.

Die Verteilung ist also nur von der Länge des Intervalls (also $\alpha -\beta$) abhängig und nicht von der Lage.

Hier fehlt noch die Sprungstellen in der zufälligen Funktion von $N$.

Allerdings weiß man in den meisten Situation gar nicht wie viele Ereignisse ($n$) eintreten werden. Wir sind also eher an einem unbeschränkten Zeitraum wie $[0,\infty )$ interessiert. Also brauchen wir unendlich viele Zufallsvariablen. Allerdings muss man aufpassen, dass die Länge des Intervalls ($t_n$) und die Anzahl der Zufallsvariablen ($n$) geeignet gekoppelt werden. → Kopplung

Es stellt sich heraus, dass $N$ nun poisson verteilt ist.

Für zwei “fast disjunkte” Intervalle gilt im Asymptotisches Regime großer Gesamtheiten, dass die Anzahl an Ereignissen in diesen Intervallen stochastisch unabhängig sind. Diese Beobachtung gilt auch für endlich viele Intervalle.

$(N_t{)}_{t\ge 0}$ ist also ein Poisson-Prozess mit Intensität $\lambda >0$ , wenn folgende Eigenschaften gelten:

1. $N_0=0$
2. $N_{t1}-N_{t0},N_{t2}-N_{t1},...,N_{t_n}-N_{t_{n-1}}$ sind stochastisch unabhängig
3. Es gibt ein $\lambda >0$ mit $N_t-N_s$~${\mathrm{Poi}}_{\lambda (t-s)}$