Erzeugende Funktion

Für eine Zähldichte $f$ auf den natürlichen Zahlen ist die Potenzreihe: $\hat{f}(z):={\sum }_{k=0}^{\infty }f(k)z^k$ die sogenannte erzeugende Funktion.

Sie sind vor allem nützlich zur Berechnung von Erwartungswert und Varianz. Für den Erwartungswert gilt, wenn er existiert: $EX={\sum }_{k=1}^{\infty }{f}_X(k)k={\frac{d}{dz}{\sum }_{k=0}^{\infty }{f}_X(k)z^k|}_{z=1}={\hat{f}}_X^{\prime }(1)$ Also die Ableitung der erzeugenden Funktion an der Stelle $x=1$.

Für die Varianz (wenn existent) gilt entsprechendes: $\mathrm{Var}X={\hat{f}}^{\prime \prime }(1)+{\hat{f}}^{\prime }(1)-{\left({\hat{f}}^{\prime }(1)\right)}^2$

Für ein $|z|\le 1$ aus den Komplexe Zahlen gilt außerdem:

$|\hat{f}(z)|\le {\sum }_{k=0}^{\infty }|f(k)||z{|}^k\le {\sum }_{k=0}^{\infty }f(k)=1$