Varianz

Die Varianz gibt an wie die Verteilung einer Zufallsvariable um den Erwartungswert verteilt ist.

Falls eine endliche Varianz existiert gelten folgende Definitionen. Damit eine Varianz endlich ist muss auch der Erwartungswert endlich und existent sein.

The variance of a data sequence is often called Sample Variance.

Definitionen

$\mathrm{Var}X=E\left[(X-EX{)}^2\right]\in [0,+\infty ]$ $\mathrm{Var}X=E\left[X^2\right]-(EX{)}^2$ Mithilfe der Varianz lässt sich die Standardabweichung definieren.

Die Varianz ist die Kovarianz von zwei gleichen Zufallsvariablen.

Properties of Variance

$$\begin{array}{rl}& \mathrm{Var}(X+a)=\mathrm{Var}X\\ & \mathrm{Var}(bX)=b^2\mathrm{Var}(X)\end{array}$$

$\mathbb{V}(Y+Z)=\mathbb{E}\left((Y-\mathbb{E}(Y)+Z-\mathbb{E}(Z){)}^2\right)=\mathbb{V}(Y)+\mathbb{V}(Z)+2\mathrm{Cov}(Y,Z)$ So if the two random variables are uncorrelated we get

$$\mathbb{V}(cY+dZ)=c^2\mathbb{V}(Y)+d^2\mathbb{V}(Z)$$