Wahrscheinlichkeitsdichte

Ist mehr oder weniger äquivalent zur Zähldichte im diskreten Fall.

Da wir diese Dichte jetzt aber auf den reellen Zahlen definieren können wir nicht einfach alle Wahrscheinlichkeiten aufsummieren sondern müssen über diese integrieren.

${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)dx=1$

Eine W-Dichte definiert eindeutig eine Verteilung auf dem Grundraum $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ durch: $P([a,b]):={\int }_a^{b}f(x)dx,\forall a\le b,a,b\in \mathbb{R}$

Anhand dieser Formel kann man auch erkennen, dass es wenig Sinn macht nach der Wahrscheinlichkeit für nur eine Zahl zu suchen. Denn setzt man $a=b$ ergibt sich immer die Wahrscheinlichkeit Null. Das ist der Grund warum wir in reellen Wahrscheinlichkeitsräumen immer die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass eine Zahl in einem gegebenen Intervall ist.

Jede W-Dichte definiert also eindeutig eine Verteilung auf dem Grundraum mit der Borel Sigma Algebra über $\mathbb{R}$.

W-Dichten zu den Verteilungen

Gleichverteilung Exponentialverteilung Normalverteilung Standardnormalverteilung

Verteilung, die keine W-Dichte besitzen

Dirac-Verteilung

Um aber alle Verteilungen auf einem W-Raum zu beschreiben gibt es die Verteilungsfunktion.