Wahrscheinlichkeitsmaß

Eine Funktion $P:\mathcal{A}\to \mathbb{R}$ heißt so, wenn gilt:

1. Die Wahrscheinlichkeit ist immer zwischen 0 und 1
2. Die Wahrscheinlichkeit von $\Omega$ Grundraum, also dass irgendwas passiert ist immer 1
3. Sigma-Additivität

Bestandteil eines Wahrscheinlichkeitsraum.

Properties

1. Die Wahrscheinlichkeit der leeren Menge ist null
2. Für paarweise disjunkte Mengen gilt, dass die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung dieser Mengen gleich der Summe der einzelnen Wahrscheinlichkeiten entspricht (endlich). Beweis durch Sigma-Additivität
3. Die Wahrscheinlichkeit vom Komplement eines Ereignis ist 1 - die Wahrscheinlichkeit des Ereignises
4. Für $A,B$ mit $A\subset B$ gilt $$\begin{gathered} P(B \\ A)=P(B)-P(A) \end{gathered}$$
5. Für $A,B$ mit $A\subset B$ gilt $P(A)\le P(B)$
6. Für $A,B$ gilt $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
7. Für jede unendliche Folge an Ereignissen gilt,

Examples

Uniform Distribution Binomial Distribution Bernoulli Distribution Negative Binomial Distribution Geometric Distribution Poisson Distribution Gamma Distribution Exponential Distribution Standard Normal Distribution Dirac-Verteilung