Näherungsbruch

Ist [a0,a1,… ][a_0,a_1,\dots] die Kettenbruchentwicklung einer reellen Zahl α\alpha, so heißt

[a0,…,an][a_0,\dots,a_n]

der n-te Näherungsbruch.

Sei die Kettenbruchentwicklung gegeben, dann kann man den Näherungsbruch mit folgenden rekursiven Regeln berechnen:

p−2=0,p−1=1,pn=anpn−1+pn−2 fu¨r n≥0,q−2=1,q−1=0,qn=anqn−1+qn−2 fu¨r n≥0\begin{array}{llll} p_{-2}=0, & p_{-1}=1, & p_n=a_n p_{n-1}+p_{n-2} & \text { für } n \geq 0, \\ q_{-2}=1, & q_{-1}=0, & q_n=a_n q_{n-1}+q_{n-2} & \text { für } n \geq 0 \end{array}

Es gilt dann

[a0,a1,…,an]=pnqn.\left[a_0, a_1, \ldots, a_n\right]=\frac{p_n}{q_n}.