Satz von Berny-Esseen

Folge an stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen mit identischer Verteilung und zusätzlich gilt: δ:=E∣X1−μ∣3<∞\delta:=E|X_1-\mu|^3<\infty . Dann existiert ein c>0c>0:

sup⁡x∈R∣P(1σn∑i=1n(Xk−μ)≤x)−∫−∞x12πe−12⋅y2dy∣≤cδσ3n∀n≥1\sup _{x \in\mathbb{R}}\left|P\left(\frac{1}{\sigma \sqrt{n}} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{k}-\mu\right) \leq x\right)-\int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2} \cdot y^{2}} d y\right|\leq c\frac{\delta}{\sigma^3\sqrt{n}}\quad\forall n\geq1

Der genaue Wert von cc ist noch unbekannt aber man weiß heute, dass er zwischen 0,40,4 und 0,480,48 liegt.