Lineare Approximation per Satz von Taylor

Gegeben sei eine stetige Funktion ff, die einmal differenzierbar ist auf einer nichtleeren, offenen und konvexen Menge, dann gilt an der Entwicklungsstelle x0x_0:

f(x)=f(x0)+∇f(x0)⊤(x−x0)+o(∥x−x0∥)f(x)=f\left(x_{0}\right)+\nabla f\left(x_{0}\right)^{\top}\left(x-x_{0}\right)+o\left(\left\|x-x_{0}\right\|\right)

Das Restglied wächst nur höchstens so schnell wie der Abstand von der Entwicklungsstelle zur approximierten Stelle.

"Gestaltenwandler"

o(∥x−x0∥)=∇f(ξ)⊤(x−x0)−∇f(x0)⊤(x−x0)o\left(\left\|x-x_{0}\right\|\right)=\nabla f(\xi)^{\top}\left(x-x_{0}\right)-\nabla f\left(x_{0}\right)^{\top}\left(x-x_{0}\right)

wobei:

ξ:=(1−θ)x0+θx\xi:=(1-\theta) x_{0}+\theta x f(x)=f(x0)+∇f(ξ)⊤(x−x0)f(x)=f\left(x_{0}\right)+\nabla f(\xi)^{\top}\left(x-x_{0}\right)

→ Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Für x←x0+px\leftarrow x_0+p mit pp hinreichen klein

f(x0)+∇f(x0+θp)⊤pf\left(x_{0}\right)+\nabla f\left(x_{0}+\theta p\right)^{\top} p f(x0+p)=f(x0)+∇f(x0)p+o(∥p∥)f\left(x_{0}+p\right)=f\left(x_{0}\right)+\nabla f\left(x_{0}\right) p+o(\|p\|)