Hypergeometrische Verteilung

  • Urnenmodell
  • M≤NM \leq N markierte Kugeln
  • ziehen n≤Nn \leq N Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Reihenfolge
  • Ak:=A_k:= Unter den gezogenen Kugeln befinden sich genau kk markierte Kugeln
  • k≤min⁡(n,M)k \leq \min{(n, M)}
  • Laplace-Experiment Gleichverteilung
  • Grundraum sind alle Teilmengen mit der Kardinalität nn
  • Die Karidnalität vom Grundraum ist (Nn)\binom{N}{n} Binomialkoeffizient
  • Möglichkeiten kk markierte Kugeln zu ziehen: (Mk)\binom{M}{k}
  • Möglichkeiten n−kn-k unmarkierte Kugeln zu ziehen: (N−Mn−k)\binom{N-M}{n-k}
h(k;n,N,M):=P(Ak)=(Mk)⋅(N−Mn−k)(Nn)h(k;n,N,M):=P(A_k)=\frac{\binom{M}{k}\cdot\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}} Hypm,N,MHyp_{m,N,M}

Die hypergeometrische Verteilung hat viele Anwendungen. Im asymptotischen Regime großer Gesamtheiten (also wenn NN gegen unendlich geht) steht sie mit der Binomialverteilung in Verbindung. Bei sehr großem NN spielt es eigentlich keine Rolle mehr ob man die Kugeln zurück in die Urne legt oder nicht. Die Wahrscheinlichkeit für eine markierte Kugel ist immer in etwa NM\frac{N}{M}

Beweis, dass h()h() im unendlichen die Binomialverteilung ist

IMG - Hypergeometrische Verteilung in großem Raum ist Binomialverteilung - Beweis.png