Kontinuierliche Reformulierung von ganzzahligen Variablen

Durch ganzzahlige Variablen in MINLPs kann man keine NLP Algorithmen anwenden. Daher macht es Sinn diese kontinuierlich zu reformulieren.

Die oberen und unteren Schranken $u$ und $l$ des MINLP können wir als ganzzahlig annehmen.

Wir können also $z_j\in\{0, ..., u_j\}$ als:

binär darstellen mit $z_j^i \in\{0,1\}$ für $i=0,1,...\lfloor \operatorname{log}_2u_j\rfloor$ . Eine weitere Darstellung wäre durch

möglich, hier mit linear vielen Binärvariablen.

Nun müssen wir also nur noch eine Möglichkeit finden Binärvariablen kontinuierlich zu reformulieren, dann können wir beliebige ganzzahlige Variablen durch kontinuierliche Variablen darstellen.

Wir verwenden eine Komplementaritätsbedingung mit $n=2$ und $\psi(x,y)=y$ und $\phi(x,y)=y$ zusammen mit der Bedingung $x+y=1$ und modellieren somit den Bereich $\{(0,1)^T,(1,0)^T\}\subseteq \mathbb{R}^2$, welcher nur aus den beiden Punkten besteht.

Nun könen wir jede binäre Variable durch $x,y$ mit den oben beschriebenen Bedingungen ersetzen und identifizieren $(0,1)$ als $0$ und $(1,0)$ als $1$. Somit ist es jetzt möglich ein MINLP in ein NLP umzuformen. Dabei entsteht allerdings der Nachteil, dass keiner der zulässigen Punkte die LICQ erfüllt und man somit nicht mehr überprüfen kann ob unter den KKT-Punkten das Minimum vorhanden ist.

• NCP-Funktion

Vor- und Nachteile der Reformulierungen