Singular Value Decomposition (SVD)

Singular Value Decompositions exist for every matrix, even for non-quadratic matrices and is more efficien than normal eigenvalue decomposition. It is defined like this:

M=UΣV∗M = U\Sigma V^*

Where UU is a unitary matrix, V∗V^* is an adjoint matrix and Σ\Sigma is a diagonal matrix with the singular values on its diagonal. The singular values squared are the eigenvalues of the matrix MM.

Berechnung

Man kann die SVD mit zwei Methoden ausrechnen, bei beiden muss man mehr oder weniger die gleichen Sachen auf eine Matrix anwenden:

  1. AATAA^T
  2. ATAA^TA
  1. Charakteristisches Polynom bestimmen
  2. Eigenwerte berechnen
  3. Eigenvektoren zu den Eigenwerten berechnen
    1. Normalisieren
    2. Orthogonalisieren
  4. U oder V bestimmen
  5. Sigma bestimmen