Zentraler Grenzwertsatz

We can use normal approximation to create CIs for a Random Variable.

Es seien $X_i$ stochastisch unabhängige identisch verteilter Zufallsvariablen mit Erwartungswert $EX_1=\mu$ und Varianz $\operatorname{Var}{X_1}=\sigma^2>0$ , dann gilt:

P\left(\frac{1}{\sqrt{n} \sigma} \sum_{k=1}^{n}\left(X_{k}-\mu\right) \leqslant x\right) \stackrel{n \rightarrow \infty}{\rightarrow} \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2} y^{2}} d y\quad\forall x\in\mathbb{R}

Ein klassisches Problem ist zum Beispiel die Berechnung der Konvergenzgeschwindigkeit des zentralen Grenzwertsatzes. → Satz von Berny-Esseen