Sattelpunkt der Lagrange-Funktion

Die optimalen ZFW der dualen und primalen Probleme stimmen überein, wenn die Lagrange-Funktion einen Sattelpunkt besitzt.

Der Punkt (xˉ,λˉ,μˉ)∈Rn×Rm×R+ℓ(\bar{x}, \bar{\lambda}, \bar{\mu}) \in \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{m} \times \mathbb{R}_{+}^{\ell} heißt Sattelpunkt der Lagrange-Funktion, falls gilt:

L(xˉ,λ,μ)≤L(xˉ,λˉ,μˉ)≤L(x,λˉ,μˉ)∀x∈Rn,λ∈Rm,μ∈R+ℓ\mathcal{L}(\bar{x}, \lambda, \mu) \leq \mathcal{L}(\bar{x}, \bar{\lambda}, \bar{\mu}) \leq \mathcal{L}(x, \bar{\lambda}, \bar{\mu}) \quad \forall x \in \mathbb{R}^{n}, \lambda \in \mathbb{R}^{m}, \mu \in \mathbb{R}_{+}^{\ell}