Faltung

Eine Faltung ist eine Operation auf zwei Zähldichten ff und gg mit ihren W-Maßen PP und QQ .

f∗g:Z→R(f∗g)(z):=∑x∈Zf(x)g(z−x)\begin{aligned} &f * g: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{R} \\ &(f * g)(z):=\sum_{x \in \mathbb{Z}} f(x) g(z-x) \end{aligned}

Die Faltung ist auch eine Zähldichte auf Z\mathbb{Z}. Das Wahrscheinlichkeitsmaß zu der neuen Zähldichte ist P∗QP*Q.

Die Faltung ist assoziativ, kommutativ und distributiv. Damit kann man sie induktiv für mehr als zwei Zähldichten definieren.

Für den reellen Fall

fx+y(z)=(fx+fy)(z):=∫−∞∞fx(x)fy(z−x)dxf_{x+y}(z)=\left(f_{x}+f_{y}\right)(z):=\int_{-\infty}^{\infty} f_{x}(x) f_{y}(z-x) d x

→ Die sogenannte Lebesguie Dichte

Summe von Zufallsvariablen

Für zwei stochastisch unabhängige Zufallsvariablen mit ihren Verteilungen und Zähldichten gilt:

fX+Y=fX∗fYf_{X+Y}=f_X*f_Y

Beweis

Den Beweis führt man über eine disjunkte Aufteilung: Bildschirmfoto 2022-01-22 um 11.22.41.png

Resultate

Die Summe von nn normalverteilten Zufallsvariablen ist wieder eine normalverteile Zufallsvariable mit Erwartungswert gleich der Summer der Erwartungswerte und Varianz gleich der Summer der Varianzen.

Die Summe von Binomialverteilungen ist wieder eine Binomialverteilung mit Binn+m,pBin_{n+m,p}. Außerdem ist die Summe von nn Bernoulli-Verteilungen eine Binomialverteilung.

→ Die Faltung tritt auch bei der Produktbildung von Potenzreihen und Polynomen auf → Erzeugende Funktion