Poisson Verteilung

P({k})=e−λλkk!\mathbb{P}(\{k\})=e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k !}

In der Anwendung ist man oft an Wahrscheinlichkeiten bei Experimenten auf einem Bernoulli-Raum mit sehr kleinem Parameter pp und großem Parameter nn interessiert.

Anzahl an Ereignissen in einem fixen Raum.

We have

∥FB(n,p)−FPo(np)∥∞≤2np2\left\|F_{B(n, p)}-F_{P o(n p)}\right\|_{\infty} \leq 2 n p^2

Annahmen:

  • pp geht für großes nn gegen null
    • Allerdings muss pnp_n so gewählt werden, dass es nicht zu schnell gegen null konvergiert. Das heißt es muss ein γ\gamma geben, sodass pn⋅np_n\cdot n gegen γ\gamma konvergiert.
  • kk ist fest

Dann lässt sich die Binomialverteilung in die folgende Form umschreiben:

1k!n(n−1)...(n−k+1)nk(npn)k(1−npnn)(1−pn)−k\frac{1}{k!}\frac{n(n-1)...(n-k+1)}{n^k}(np_n)^k(1-\frac{np_n}{n})(1-p_n)^{-k}

Dieser Term konvergiert für großes nn gegen:

1k!γke−γ\frac{1}{k!}\gamma^ke^{-\gamma}

für ein k∈N0k \in \mathbb{N}_0

Für einen Parameter γ∈(0,∞)\gamma \in (0,\infty) (dieser Wert gibt die bei einer Beobachtung erwartete Ereignishäufigkeit an → Erwartungswert) heißt die Verteilung Poisson-Verteilung und man schreibt:

PoiγPoi_\gamma