Multinomialverteilung

"Anzahl der Treffer bei n Versuchen"

• Urnenmodell
• $N$ durchnummerierte Kugeln
• Jede Kugel ist mit einer aus $r$ Farben markiert
  • Dafür teilt man die Kugeln in $r$ Gruppen ($M_r$ ist die Anzahl der Kugeln der Farbe $r$) auf und gibt ihnen jeweils die Farbe
• $n$ Kugeln ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge
• Wahrscheinlichkeit, dass unter den gezogenen Kugeln genau $k_i$ Kugeln der Farbe $i$ haben

W-Raum aufstellen

• Grundraum → $\Omega=\set{1,...,N}^n$ → Tupel
• $|\Omega|=N^n$
• Sigma Algebra → $\mathcal{A}=\mathbb{P}(\Omega)$
• Gleichverteilung mit $\frac{1}{N^n}$

Um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignises zu berechnen braucht man zuerst die Kardinalität von dem Ereignis. In diesem Fall haben wir mehrere Parameter:

• $k_i$ → Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe $i$
• $M_r$ → Anzahl der Kugeln mit der Farbe $r$
• $n$ → Anzahl der gezogenen Kugeln

Für die 1. Farbe gilt: Es gibt $\binom{n}{k_1}$ mögliche Positionen dieser Farbe in den $n$ gezogenen Kugeln (wegen mit Beachtung der Reihenfolge). Zusätzlich können an den "ausgewählten" Positionen $M_1^{k_ 1}$ verschiedene Kugeln sein (wegen mit Zurücklegen).

Für die 2. Farbe gilt: Es gibt dementsprechend nur noch $\binom{n-k_1}{k_2}$ mögliche Positionen, da bereits $k_1$ Plätze belegt sind.

Für die letzte Farbe gilt: Es ist nur noch eine mögliche Position übrig.

Für die Kardinalität eines Ereignises $A_{k_1,...,k_r}$ gilt also:

Diese Formel sieht dann zusammengefasst so aus:

→ Der Bruch ist der sogenannte Multinomialkoeffizient

Damit folgt am Ende die Verteilung:

Umgeschrieben kommt man auf eine Form, in der man nicht mehr die Anzahl der einzelnen gefärbten Kugeln angibt sondern den Anteil einer Farbe an allen Kugeln durch den Parameter $p_r \in [0,1]$: