Abstiegsrichtung

Ein Vektor ss heißt Abstiegsrichtung von ff im Punkt xx falls gilt:

∇f(x)Ts<0\nabla f(x)^Ts<0

→ bedeutet geometrisch in einem Winkel von mindestens 90° zum Gradient. → in Richtung entlang derer sich der Funktionswert verringert → siehe auch Richtungsableitung

Die Steigung in diese Richtung ist gegeben durch:

∇f(x)Ts∣∣s∣∣\nabla f(x)^T\frac{s}{||s||}

Der Vektor ss muss also nur normalisiert werden um die Steigung berechnen zu können.

Wichtige Bemerkung

Für eine Abstiegsrichtung genügt es nicht, dass ff entlang ss abnimmt. Denn die Abnahme könnte auch allein durch negative Krümmung (Hessematrix) in diese Richtung hervorgerufen sein. besser erklären → siehe Skript seite 49