Lagrange-Newton-Verfahren

Kann zur Lösung restringierter Probleme verwendet werden, die nur Gleichungsnebenbedingungen haben.

Außerdem müssen die ZF und die Gleichungsnebenbedingungen zweimal stetig differenzierbar sein.

Die KKT Bedingungen degenieren dann zu:

∇L(x,λ)=0\nabla\mathcal{L}(x,\lambda)=0 h(x)=0h(x)=0

Dieses Gleichungssystem kann mit dem Newton Verfahren gelöst werden.

Dafür setzen wir:

R(x,λ)=(∇xL(x,λ)h(x)),JR(x,λ)=(∇xx2L(x,λ)Jh(x)TJh(x)0)R(x, \lambda)=\left(\begin{array}{c} \nabla_{x} L(x, \lambda) \\ h(x) \end{array}\right), \quad J_{R}(x, \lambda)=\left(\begin{array}{cc} \nabla_{x x}^{2} L(x, \lambda) & J_{h}(x)^{T} \\ J_{h}(x) & 0 \end{array}\right)

und lösen dann:

JR(x,λ)d=−R(x,λ)J_{R}(x, \lambda) d=-R(x, \lambda)

Den neuen Punkt dieser Iterationsfolge erhält man mit (x,λ)+d(x,\lambda)+d .

d=JR(x,λ)−R(x,λ)d=\frac{J_R(x,\lambda)}{-R(x,\lambda)}

Diese Iterationsfolge konvergiert gegen einen KKT Punkt. Wenn also ff konvex ist und alle Nebenbedingungen affin-linear, dann ist dieser Punkt das Optimum.