Relative Häufigkeit

Damit die relaitve Häufigkeit funktioniert muss man zuerst die Annahme machen, dass das Zufallsexperiment unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholbar ist, wobei die Wiederholungen sich nicht gegenseitig beeinflussen dürfen, also stochastische Unabhängigkeit vorliegt.

Die relative Häufigkeit eines Ereignises $A$ ist nach $n$ Widerholungen berechenbar durch

h_n(A):=\frac{1}{n}\cdot |A|

, wobei $|A|$ die Anzahl an Auftritten von $A$ ist.

Relative Frequency for Interval

Uses indicator function like this:

h_{n}(I)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} 1_{l}\left(x_{i}\right)

True probability using limit of relative frequency

In typischen Fällen nähert sich $h_n(A)$ für große Werte einer Zahl zwischen 0 und 1 an, sodass man $P(A)$ als

\lim_{n\rightarrow \infty}h_n(A)

definieren kann. Damit ist das Wahrscheinlichkeitsmaß voll bestimmt.

Schlussendlich gilt für endlich viele Wiederholungen $P(\{1\})=\frac{k}{n}$ wobei $k$ die Anzahl des Ereignises ist und $n$ die Anzahl der Wiederholungen.

Estimate error

You can estimate the error of the relative frequency compared to the true probability like this:

|h_n(I)-p(I)|\leq \frac{1}{\sqrt{n}}

The formula above is a rough estimate. This Confidence Interval (95%) is better:

p\in\left[ h_n - z_{1-\alpha/2}\frac{\sqrt{h_n(1-h_n)}}{\sqrt{n}}, h_n + z_{1-\alpha/2}\frac{\sqrt{h_n(1-h_n)}}{\sqrt{n}}\right]