Erzeugende Funktion

Für eine Zähldichte ff auf den natürlichen Zahlen ist die Potenzreihe:

f^(z):=∑k=0∞f(k)zk\hat{f}(z):=\sum_{k=0}^{\infty} f(k) z^{k}

die sogenannte erzeugende Funktion.

Sie sind vor allem nützlich zur Berechnung von Erwartungswert und Varianz. Für den Erwartungswert gilt, wenn er existiert:

EX=∑k=1∞fX(k)k=ddz∑k=0∞fX(k)zk∣z=1=f^X′(1)EX=\sum_{k=1}^{\infty} f_{X}(k) k=\left.\frac{d}{d z} \sum_{k=0}^{\infty} f_{X}(k) z^{k}\right|_{z=1}=\hat{f}_{X}^{\prime}(1)

Also die Ableitung der erzeugenden Funktion an der Stelle x=1x=1.

Für die Varianz (wenn existent) gilt entsprechendes:

Var⁡X=f^′′(1)+f^′(1)−(f^′(1))2\operatorname{Var} X=\hat{f}^{\prime \prime}(1)+\hat{f}^{\prime}(1)-\left(\hat{f}^{\prime}(1)\right)^{2}

Für ein ∣z∣≤1|z|\leq 1 aus den Komplexe Zahlen gilt außerdem:

∣f^(z)∣≤∑k=0∞∣f(k)∣∣z∣k≤∑k=0∞f(k)=1|\hat{f}(z)| \leq \sum_{k=0}^{\infty}|f(k)||z|^{k} \leq \sum_{k=0}^{\infty} f(k)=1

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