Konvexes Optimierungsproblem

Ein Optimierungsproblem ist ein konvexes Optimierungsproblem wenn sowohl ZZ als auch die Zielfunktion konvex sind.

Es sei also ff entsprechend eine stetige Zielfunktion, dann ist jede lokale Lösung auch eine globale Lösung. Falls ff zusätzlich strikt konvex ist, besitzt das Problem höchstens eine globale Lösung.

Eine Konvexe Funktion ist auf einer Konvexe Menge definiert.

Falls eine Funktion nicht stetig ist so lässt sich trotzdem eine Art Ableitung bilden durch den Subgradient und das Subdifferential.

Für ein Optimierungsproblem lässt sich die zulässige Menge an Punkten durch die Nebenbedingungen hjh_j und gig_i darstellen als:

Z={ x∈R:hj(x)=0,gi(x)≤0 }Z=\set{x\in\mathbb{R}:h_j(x)=0,g_i(x)\leq0}

Über diese Menge kann man Aussagen treffen:

  1. sind gig_i und hjh_j stetig so ist ZZ abgeschlossen
  2. sind gig_i konvex und hjh_j affin-linear so ist ZZ konvex

Ob eine Funktion konvex ist lässt sich mithilfe verschiedener Aussagen über die Definitheit der Hessematrix bestimmen. Wenn sie positiv semidefinit ist ist die Funktion konvex. Ist sie allerdings sogar positiv definit, dann ist die Funktion auch strikt konvex.

Richtungsableitung wird definiert.

Wenn die Zielfunktion und die Lösungsmenge konvex ist, dann ist automatisch die lokale Lösung auch die globale Lösung.

Es sei also ff entsprechend eine stetige Zielfunktion, dann ist jede lokale Lösung auch eine globale Lösung. Falls ff zusätzlich strikt konvex ist, besitzt das Problem höchstens eine globale Lösung.